规定Cmx=x(x?1)…(x?m+1)m!,其中x∈R,m是正整数,且C0x=1,这是组合数...
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发布时间：2024-12-18 09:39
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（1）C3?15＝(?15)(?16)(?17)3!＝?680．
（2）C3x(C1x)2＝x(x?1)(x?2)6x2＝16(x+2x?3)．
∵x＞0，x+2x≥22．
当且仅当x=2时，等号成立．
∴当x=2时，C3x(C1x)2取得最小值．
（3）性质①不能推广，例如当x=2时，C12有定义，但C2?12无意义；
性质②能推广，它的推广形式是Cxm+Cxm-1=Cx+1m，m是正整数．
事实上，当m=1时，有Cx1+Cx0=x+1=Cx+11．
当m≥2时．Cmx+Cm?1x＝x(x?1)…(x?m+1)m!+x(x?1)…(x?m?2)(m?1)!
=x(x?1)…(x?m+2)(m?1)![x?m+1m+1]=x(x?1)…(x?m+2)(x+1)m!＝Cmx+1．
变式：解：（Ⅰ）A-153=（-15）（-16）（-17）=-4080；
（Ⅱ）性质①、②均可推广，推广的形式分别是：
①Axm=xAx-1m-1，②Axm+mAxm-1=Ax+1m（x∈R，m∈N+）
事实上，在①中，当m=1时，左边=Ax1=x，右边=xAx-10=x，等式成立；
当m≥2时，左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）
=x[（x-1）（x-2）（（x-1）-（m-1）+1）]=xAx-1m-1，
因此，①Axm=xAx-1m-1成立；
在②中，当m=1时，左边=Ax1+Ax0=x+1=Ax+11=右边，等式成立；
当m≥2时，
左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）+mx（x-1）（x-2）（x-m+2）
=x（x-1）（x-2）（x-m+2）[（x-m+1）+m]=（x+1）x（x-1）（x-2）[（x+1）-m+1]=Ax+1m=右边，
因此②Axm+mAxm-1=Ax+1m（x∈R，m∈N+）成立．
（Ⅲ）先求导数，得（Ax3）′=3x2-6x+2．
令3x2-6x+2＞0，解得x＜3?33或x＞3+33．
因此，当x∈(?∞，3?33)时，函数为增函数，
当x∈(3+33，+∞)时，函数也为增函数．
令3x2-6x+2＜0，解得3?33＜x＜3+33
