两定点A(-1,0),B(1,0)其中y1y2满足y1y2=-1,设直线AM与BN的交点为P...
发布网友
发布时间：2024-12-18 00:44
共1个回答
热心网友
时间：2024-12-28 06:30
已知两定点A（-1,0)、B（1，0）及两个动点M（0，y1),N(0,y2),其中y1,y2满足y1y2=-1,设AM与BN的交点为P
（1）求动点P的轨迹C的方程
已知点A(-1,0)、M(0,y1)，则AM所在的直线方程为：(y-y1)/(y1-0)=(x-0)/(0+1)
===> (y-y1)/y1=x
===> y-y1=xy1
===> y=(x+1)y1……………………………………………………（1）
同理，过点B、N的直线BN所在直线方程为：(y-y2)/(y2-0)=(x-0)/(0-1)
===> (y-y2)/y2=-x
===> y-y2=-xy2
===> y=(1-x)y2……………………………………………………（2）
由(1)(2)得到：(x+1)y1=(1-x)y2………………………………（3）
已知：y1y2=-1
所以，y2=-1/y1
代入(3)就有：(x+1)y1=(1-x)*(-1/y1)=(x-1)/y1
即：y1^2=(x-1)/(x+1)…………………………………………（4）
而由(1)有：y^2=(x+1)^2*y1^2
=(x+1)^2*[(x-1)/(x+1)]
=(x+1)(x-1)
=x^2-1
所以：x^2-y^2=1——这就是点P的轨迹方程
（2）若直线y=kx-1与曲线C位于y轴座边的部分交于相异两点E、F，求k的取值范围。
由(1)知：x^2-y^2=1，为等轴双曲线，其渐近线为y=±x
直线y=kx-1经过定点(0,-1)
要满足直线与上述等轴双曲线的左半支有两个相异交点，则其斜率k＜渐近线斜率=-1………………………………………………（5）
此外，联立直线与双曲线得到：
x^2-(kx-1)^2=1
===> x^2-k^2*x^2+2kx-2=0
===> (1-k^2)x^2+2kx-2=0
因为有相异两个交点，即说明上述一元二次方程有两个相异的实数根
所以，△=b^2-4ac=(2k)^2+8(1-k^2)＞0
===> 4k^2+8-8k^2＞0
===> k^2＜2
===> -√2＜k＜√2………………………………………………（6）
联立(5)(6)得到：-√2＜k＜-1
